MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația cot⁡2x−tan⁡2x=8cot⁡22x\cot^2 x-\tan^2 x=8\cot^2 2x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observați că cot⁡2x−tan⁡2x=cos⁡4x−sin⁡4xsin⁡2xcos⁡2x=cos⁡2xsin⁡2xcos⁡2x=4cos⁡2xsin⁡22x\cot^2 x-\tan^2 x=\dfrac{\cos^4 x-\sin^4 x}{\sin^2 x\cos^2 x}=\dfrac{\cos 2x}{\sin^2 x\cos^2 x}=\dfrac{4\cos 2x}{\sin^2 2x}. Ecuația devine 4cos⁡2xsin⁡22x=8cos⁡22xsin⁡22x\dfrac{4\cos 2x}{\sin^2 2x}=8\dfrac{\cos^2 2x}{\sin^2 2x}.
24 puncte
Sub condiția sin⁡2x≠0\sin 2x\neq0 rezultă cos⁡2x=2cos⁡22x\cos 2x=2\cos^2 2x, adică cos⁡2x(2cos⁡2x−1)=0\cos 2x(2\cos 2x-1)=0. Deci cos⁡2x=0\cos 2x=0 sau cos⁡2x=12\cos 2x=\dfrac{1}{2}. Se menționează domeniul: trebuie sin⁡x≠0\sin x\neq0, cos⁡x≠0\cos x\neq0 şi sin⁡2x≠0\sin 2x\neq0.
32 puncte
Soluțiile validate sunt x=π4+kπ2x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2} sau x=±π6+kπx=\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.