MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații: cos⁡x+y2cos⁡x−y2=12,  cos⁡xcos⁡y=14\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}=\tfrac{1}{2},\; \cos x\cos y=\tfrac{1}{4}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicaţi identitatea produsului cosinusurilor: cos⁡Acos⁡B=12(cos⁡(A+B)+cos⁡(A−B))\cos A\cos B=\tfrac12\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr). Pentru A=x+y2,B=x−y2A=\tfrac{x+y}{2}, B=\tfrac{x-y}{2} obţineţi 12(cos⁡x+cos⁡y)=12\tfrac12(\cos x+\cos y)=\tfrac12, deci cos⁡x+cos⁡y=1\cos x+\cos y=1. ;
24 puncte
Notaţi u=cos⁡x,v=cos⁡yu=\cos x, v=\cos y şi folosiţi sistemul liniar cu produs: u+v=1,  uv=14u+v=1,\; uv=\tfrac14. Rezolvaţi ecuaţia caracteristică t2−t+14=0t^2-t+\tfrac14=0 şi observaţi discriminantul nul, deci unica soluţie dublă t=12t=\tfrac12, deci u=v=12u=v=\tfrac12. ;
33 puncte
Construiţi soluţiile pentru xx şi yy: cos⁡x=cos⁡y=12⇒x=±π3+2kπ,  y=±π3+2ℓπ\cos x=\cos y=\tfrac12\Rightarrow x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2k\pi,\; y=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\ell\pi cu k,ℓ∈Zk,\ell\in\mathbb{Z}. Verificaţi periodicitatea şi arătaţi că acestea satisfac ambele ecuaţii.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.