MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: log⁡2−2x2(2−x2−x4)=2−1log⁡4/3(2−2x2)\log_{2-2x^2}(2 - x^2 - x^4) = 2 - \dfrac{1}{\log_{4/3}(2 - 2x^2)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Stabiliți domeniul de definiție: 2−2x2>02-2x^2>0, 2−x2−x4>02-x^2-x^4>0 şi log⁡4/3(2−2x2)≠0\log_{4/3}(2-2x^2)\neq0.
23 puncte
Observați factorizarea 2−x2−x4=(1−x2)(2+x2)2-x^2-x^4=(1-x^2)(2+x^2) şi notați b=2−2x2b=2-2x^2; atunci log⁡b(2−x2−x4)=log⁡b(b⋅2+x22)=1+log⁡b2+x22\log_b(2-x^2-x^4)=\log_b\bigl(b\cdot\dfrac{2+x^2}{2}\bigr)=1+\log_b\dfrac{2+x^2}{2}.
32 puncte
Transformați partea dreaptă folosind schimbarea bazei: 2−1log⁡4/3b=2−ln⁡(4/3)ln⁡b=ln⁡b−ln⁡(4/3)ln⁡b=log⁡b3b42-\dfrac{1}{\log_{4/3}b}=2-\dfrac{\ln(4/3)}{\ln b}=\dfrac{\ln b-\ln(4/3)}{\ln b}=\log_b\dfrac{3b}{4}.
42 puncte
Egalând logaritmii (având aceeași bază legitimă) obțineți 2+x22=3b4\dfrac{2+x^2}{2}=\dfrac{3b}{4}; înlocuiți b=2−2x2b=2-2x^2 şi rezolvați: 2+x2=3(1−x2)⇒4x2=1⇒x2=142+x^2=3(1-x^2)\Rightarrow4x^2=1\Rightarrow x^2=\dfrac{1}{4}.
51 punct
Verificați în domeniu: pentru x=±12x=\pm\dfrac{1}{2} condițiile sunt îndeplinite, deci soluțiile sunt x=±12x=\pm\dfrac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.