MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡4(3x−1)⋅log⁡1/4 ⁣(3x−116)≤34\log_{4}(3^{x}-1)\cdot\log_{1/4}\!\left(\dfrac{3^{x}-1}{16}\right)\le\dfrac{3}{4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Determinarea domeniului: 3x−1>0⇒x>03^{x}-1>0\Rightarrow x>0.
24 puncte
Observăm log⁡1/4y=−log⁡4y\log_{1/4}y=-\log_{4}y şi punem t=log⁡4(3x−1)t=\log_{4}(3^{x}-1). Inegalitatea devine −t2+2t≤34-t^{2}+2t\le\dfrac{3}{4}, adică t2−2t+34≥0t^{2}-2t+\dfrac{3}{4}\ge 0.
34 puncte
Rezolvăm t2−2t+34≥0⇒∣t−1∣≥12t^{2}-2t+\dfrac{3}{4}\ge0\Rightarrow |t-1|\ge\dfrac{1}{2}, deci t≤12t\le\dfrac{1}{2} sau t≥32t\ge\dfrac{3}{2}. Revenind la xx: log⁡4(3x−1)≤12⇒3x−1≤2⇒x≤1\log_{4}(3^{x}-1)\le\dfrac{1}{2}\Rightarrow 3^{x}-1\le 2\Rightarrow x\le1, şi log⁡4(3x−1)≥32⇒3x−1≥8⇒x≥2\log_{4}(3^{x}-1)\ge\dfrac{3}{2}\Rightarrow 3^{x}-1\ge 8\Rightarrow x\ge2. Împreună cu domeniul obţinem x∈(0,1]∪[2,∞)x\in(0,1]\cup[2,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.