MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația: sin⁡2x−22 sin⁡(3π2−2x)=3\sin 2x - 2\sqrt{2}\,\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}-2x\bigr)=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea sin⁡(3π2−2x)=−cos⁡2x\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}-2x\bigr)=-\cos 2x pentru a obține sin⁡2x+22 cos⁡2x=3\sin 2x+2\sqrt{2}\,\cos 2x=3.
24 puncte
Reprezentați suma ca amplitudine: sin⁡2x+22 cos⁡2x=Rsin⁡(2x+α)\sin 2x+2\sqrt{2}\,\cos 2x=R\sin(2x+\alpha) cu R=1+(22)2=3R=\sqrt{1+(2\sqrt{2})^2}=3, unde cos⁡α=13\cos\alpha=\dfrac{1}{3} și sin⁡α=223\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}. Ecuația devine 3sin⁡(2x+α)=33\sin(2x+\alpha)=3.
33 puncte
Din sin⁡(2x+α)=1\sin(2x+\alpha)=1 rezultă 2x+α=π2+2kπ2x+\alpha=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi. Deci x=π4−α2+kπx=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}+k\pi, unde α=arctan⁡(22)\alpha=\arctan(2\sqrt{2}) și k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.