MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieEcuații iraționaleFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea: 5−2sin⁡x≥6sin⁡x−1\sqrt{5-2\sin x}\ge 6\sin x-1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm s=sin⁡x∈[−1,1]s=\sin x\in[-1,1] şi impunem definiția radicalului 5−2s≥05-2s\ge0 (este satisfăcută pentru orice s≤52s\le\tfrac52), deci ne interesează 5−2s≥6s−1\sqrt{5-2s}\ge6s-1.
23 puncte
Dacă 6s−1≤06s-1\le0 (adică s≤16s\le\tfrac16) inegalitatea este automată, deci aceste valori sunt soluții.
32 puncte
Pentru s>16s>\tfrac16 pătratem: 5−2s≥(6s−1)25-2s\ge(6s-1)^2, rezultând inegalitatea quadratică 36s2−10s−4≤036s^2-10s-4\le0, al cărei interval de soluții este s∈[−29,12]s\in[-\tfrac{2}{9},\tfrac12]. Intersectând cu s>16s>\tfrac16 obținem (16,12](\tfrac16,\tfrac12].
42 puncte
Combinând cu cazul anterior concluzionăm sin⁡x≤12\sin x\le\tfrac12, deci mulțimea soluțiilor este pentru orice k∈Zk\in\mathbb Z: x∈[2kπ,2kπ+π6]∪[2kπ+5π6,2kπ+2π]x\in[2k\pi,2k\pi+\tfrac{\pi}{6}]\cup[2k\pi+\tfrac{5\pi}{6},2k\pi+2\pi].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.