MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: tan⁡x+cot⁡x−cos⁡4x=3\tan x + \cot x - \cos 4x = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați tan⁡x+cot⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2x\tan x+\cot x=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\dfrac{1}{\sin x\cos x}=\dfrac{2}{\sin 2x}; excludeți sin⁡2x=0\sin 2x=0 (nu se poate împărți).
24 puncte
Puneți y=sin⁡2xy=\sin 2x; ecuația devine 2y−cos⁡4x=3\dfrac{2}{y}-\cos 4x=3 şi folosiţi cos⁡4x=1−2y2\cos 4x=1-2y^2 pentru a obţine 2y−1+2y2=3\dfrac{2}{y}-1+2y^2=3, adică y3−2y+1=0y^3-2y+1=0. Factorizaţi: (y−1)(y2+y−1)=0(y-1)(y^2+y-1)=0, deci y=1y=1 sau y=5−12y=\dfrac{\sqrt5-1}{2} (rădăcina negativă a pătratului este (<-1) şi se respinge).
33 puncte
Concluzie: pentru sin⁡2x=1\sin 2x=1 avem 2x=π2+2kπ⇒x=π4+kπ2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi; pentru sin⁡2x=5−12\sin 2x=\dfrac{\sqrt5-1}{2} avem 2x=arcsin⁡ ⁣(5−12)+2kπ2x=\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt5-1}{2}\right)+2k\pi sau 2x=π−arcsin⁡ ⁣(5−12)+2kπ2x=\pi-\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt5-1}{2}\right)+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.