MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați toate soluțiile ecuației sin⁡(4x+π4)+cos⁡(4x+5π4)=2\sin(4x+\tfrac{\pi}{4})+\cos(4x+\tfrac{5\pi}{4})=\sqrt{2} care satisfac inegalitatea cos⁡2xcos⁡2x−sin⁡2x>2−sin⁡4x\dfrac{\cos 2x}{\cos^2 x-\sin^2 x}>2^{-\sin 4x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observaţi că cos⁡(4x+5π4)=cos⁡(4x+π+π4)=−cos⁡(4x+π4)\cos(4x+\tfrac{5\pi}{4})=\cos(4x+\pi+\tfrac{\pi}{4})=-\cos(4x+\tfrac{\pi}{4}), deci ecuaţia devine sin⁡y−cos⁡y=2\sin y-\cos y=\sqrt{2} cu y=4x+π4y=4x+\tfrac{\pi}{4}. Se foloseşte identitatea sin⁡y−cos⁡y=2sin⁡(y−π4)\sin y-\cos y=\sqrt{2}\sin(y-\tfrac{\pi}{4}), rezultând sin⁡(y−π4)=1\sin(y-\tfrac{\pi}{4})=1, de unde y=3π4+2kπy=\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi şi astfel x=π8+kπ2x=\tfrac{\pi}{8}+k\tfrac{\pi}{2}.
23 puncte
Simplificaţi inegalitatea: observaţi că cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x, deci pentru cos⁡2x≠0\cos 2x\neq0 avem raportul egal cu 11, iar inegalitatea devine 1>2−sin⁡4x1>2^{-\sin 4x}, adică sin⁡4x>0\sin 4x>0.
33 puncte
Verificaţi pentru soluţiile obţinute: pentru x=π8+kπ2x=\tfrac{\pi}{8}+k\tfrac{\pi}{2} avem 4x=π2+2kπ⇒sin⁡4x=1>04x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow\sin4x=1>0 şi cos⁡2x=cos⁡(π4+kπ)≠0\cos2x=\cos(\tfrac{\pi}{4}+k\pi)\neq0, deci toate aceste soluţii satisfac inegalitatea. Concluzie: x=π8+kπ2x=\tfrac{\pi}{8}+k\tfrac{\pi}{2}, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.