MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmiEcuații iraționale
Rezolvați inegalitatea: (log⁡1/2x)2+4log⁡3x<2⋅(4−log⁡16x4)\sqrt{\left(\log_{1/2}x\right)^{2}+4\log_{3}\sqrt{x}}<\sqrt{2}\cdot\left(4-\log_{16}x^{4}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: x>0x>0. Observăm transformările: (log⁡1/2x)2=(log⁡2x)2(\log_{1/2}x)^{2}=(\log_{2}x)^{2}, 4log⁡3x=2log⁡3x4\log_{3}\sqrt{x}=2\log_{3}x, iar log⁡16x4=log⁡2x\log_{16}x^{4}=\log_{2}x. De asemenea trebuie ca partea dreaptă să fie pozitivă, deci 4−log⁡2x>0⇒log⁡2x<44-\log_{2}x>0\Rightarrow \log_{2}x<4.
24 puncte
Punem t=log⁡2xt=\log_{2}x şi k=log⁡23>0k=\log_{2}3>0. Inegalitatea devine t2+2tk<2 (4−t)\sqrt{t^{2}+\dfrac{2t}{k}}<\sqrt{2}\,(4-t) cu condiţia t<4t<4. Pătrăm ambele părţi (dreapta pozitivă): t2+2tk<2(4−t)2t^{2}+\dfrac{2t}{k}<2(4-t)^{2}.
33 puncte
Reducem la inegalitatea cuadratică kt2+(−16k−2)t+32k>0k t^{2}+(-16k-2)t+32k>0. Calculăm rădăcinile exacte şi observăm că, deoarece coeficientul lui t2t^{2} este pozitiv, soluţia este în exteriorul intervalului dintre rădăcini. Combinând cu condiţia t<4t<4 rezultă t<8k+1−32k2+16k+1kt<\dfrac{8k+1-\sqrt{32k^{2}+16k+1}}{k}. Revenind la xx: soluţia este x∈(0, 2 8log⁡23+1−32(log⁡23)2+16log⁡23+1log⁡23)x\in\left(0,\,2^{\,\dfrac{8\log_{2}3+1-\sqrt{32(\log_{2}3)^{2}+16\log_{2}3+1}}{\log_{2}3}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.