MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmi
log⁡2(25x+3−1)=2+log⁡2(5x+3+1)\log_2\bigl(25^{x+3}-1\bigr)=2+\log_2\bigl(5^{x+3}+1\bigr)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Observaţie: 25x+3=(52)x+3=52(x+3)25^{x+3}=(5^2)^{x+3}=5^{2(x+3)}. Se impun condiţiile de existenţă: 25x+3−1>025^{x+3}-1>0 şi 5x+3+1>05^{x+3}+1>0 (a doua este întotdeauna adevărată).
23 puncte
Se mută termenii logaritmici: log⁡2(25x+3−1)−log⁡2(5x+3+1)=2\log_2\bigl(25^{x+3}-1\bigr)-\log_2\bigl(5^{x+3}+1\bigr)=2. Se foloseşte proprietatea diferenţei: log⁡225x+3−15x+3+1=2\log_2\dfrac{25^{x+3}-1}{5^{x+3}+1}=2.
33 puncte
Se notează y=5x+3>0y=5^{x+3}>0 şi se obţine y2−1y+1=22=4\dfrac{y^2-1}{y+1}=2^2=4. Se reduce la ecuaţie algebrică: (y−1)(y+1)y+1=y−1=4\dfrac{(y-1)(y+1)}{y+1}=y-1=4, deci y=5y=5.
42 puncte
Din 5x+3=55^{x+3}=5 se obţine x+3=1⇒x=−2x+3=1\Rightarrow x=-2. Se verifică condiţia de existenţă; soluţia finală: x=−2x=-2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.