MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: x+log⁡(1+2x)=x,log⁡5+log⁡6x + \log(1 + 2^{x}) = x\\,\log 5 + \log 6.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Mutăm termenii logaritmici şi folosim log⁡5=log⁡5\log 5 =\log 5 şi 1=log⁡101=\log 10: scriem partea dreaptă ca xlog⁡5=log⁡(5x)=log⁡(10x)+x(log⁡5−1)x\log 5 = \log(5^{x}) = \log(10^{x})+x(\log 5-1), mai direct observăm identitatea x(log⁡5−1)=log⁡(5x)−log⁡(10x)=log⁡(2−x)x(\log 5-1)=\log(5^{x})-\log(10^{x})=\log(2^{-x}). Astfel ecuația echivalentă este log⁡1+2x6=log⁡(2−x)\log\dfrac{1+2^{x}}{6}=\log(2^{-x}).
24 puncte
Egalând argumentele obținem 1+2x6=2−x\dfrac{1+2^{x}}{6}=2^{-x}. Punem t=2x>0t=2^{x}>0 şi obținem 1+t6=t−1\dfrac{1+t}{6}=t^{-1}, adică t+t2=6t+t^{2}=6.
33 puncte
Rezolvăm t2+t−6=0t^{2}+t-6=0 cu soluții t=2t=2 sau t=−3t=-3 (respingeţi t=−3t=-3). Din t=2t=2 avem 2x=22^{x}=2 deci x=1x=1. Verificare: argumentele logaritmilor sunt pozitive, deci soluția este x=1x=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.