MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul: {xy=a2,(log⁡x)2+(log⁡y)2=52(log⁡a2)2\begin{cases}xy=a^2,\\(\log x)^2+(\log y)^2=\dfrac{5}{2}(\log a^2)^2\end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm u=log⁡xu=\log x, v=log⁡yv=\log y, t=log⁡at=\log a. Din xy=a2xy=a^2 rezultă u+v=log⁡a2=2tu+v=\log a^2=2t. Din a doua ecuație avem u2+v2=52(2t)2=10t2u^2+v^2=\dfrac{5}{2}(2t)^2=10t^2.
24 puncte
Calculăm 2uv=(u+v)2−(u2+v2)=4t2−10t2=−6t22uv=(u+v)^2-(u^2+v^2)=4t^2-10t^2=-6t^2, deci uv=−3t2uv=-3t^2. Atunci u,vu,v sunt rădăcinile ecuației z2−2tz−3t2=0z^2-2tz-3t^2=0, de unde z=3tz=3t sau z=−tz=-t.
33 puncte
Concluzie: fie (u,v)=(3t,−t)(u,v)=(3t,-t) fie (u,v)=(−t,3t)(u,v)=(-t,3t). Revenind la x,yx,y: fie (x,y)=(a3,a−1)(x,y)=(a^3,a^{-1}) fie (x,y)=(a−1,a3)(x,y)=(a^{-1},a^3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.