MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 1tan⁡x−1=cos⁡2x1+tan⁡x\dfrac{1}{\tan x}-1=\dfrac{\cos 2x}{1+\tan x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notaţi t=tan⁡xt=\tan x şi observaţi restricţiile t≠0t\neq0 (din 1/tan⁡x1/\tan x) şi t≠−1t\neq-1 (din 1+tan⁡x1+\tan x). Ecuaţia devine 1t−1=1−t2(1+t2)(1+t)\dfrac{1}{t}-1=\dfrac{1-t^2}{(1+t^2)(1+t)} deoarece cos⁡2x=1−t21+t2\cos 2x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}.
24 puncte
Multiplicaţi cu t(1+t2)(1+t)t(1+t^2)(1+t) şi obţineţi relaţia echivalentă (1−t)(1+t)(1+t2)=t(1−t2)(1-t)(1+t)(1+t^2)=t(1-t^2), adică 1−t4=t(1−t2)1-t^4=t(1-t^2). După simplificare rezultă (t−1)(t+1)(t2−t+1)=0(t-1)(t+1)(t^2-t+1)=0. Rădăcinile reale sunt t=1t=1 şi t=−1t=-1, dar t=−1t=-1 este exclus.
33 puncte
Concluzia: tan⁡x=1⇒x=π4+kπ\tan x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, cu k∈Zk\in\mathbb{Z} (respectând excluderile anterioare).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.