MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebrice
Arătați că 14sin⁡2αcos⁡2α−(1−tan⁡2α)24tan⁡2α=1\frac{1}{4\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}-\frac{(1-\tan^{2}\alpha)^{2}}{4\tan^{2}\alpha}=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rescrieţi a doua fracţie în funcţie de sin şi cos: (1−tan⁡2α)24tan⁡2α=(1−sin⁡2αcos⁡2α)24sin⁡2αcos⁡2α=(cos⁡2α−sin⁡2α)24sin⁡2αcos⁡2α\frac{(1-\tan^{2}\alpha)^{2}}{4\tan^{2}\alpha}=\frac{\bigl(1-\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}\bigr)^{2}}{4\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}}=\frac{(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)^{2}}{4\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}.
23 puncte
Comunaţi termenii cu acelaşi numitor: diferenţa devine 1−(cos⁡2α−sin⁡2α)24sin⁡2αcos⁡2α\frac{1-(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)^{2}}{4\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}.
34 puncte
Observaţi că 1−(cos⁡2α−sin⁡2α)2=4sin⁡2αcos⁡2α1-(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)^{2}=4\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha, astfel fracţia devine 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.