MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Arătați că sin⁡2(45∘+α)−sin⁡2(30∘−α)−sin⁡15∘⋅cos⁡(15∘+2α)=sin⁡2α\sin^{2}(45^{\circ}+\alpha)-\sin^{2}(30^{\circ}-\alpha)-\sin15^{\circ}\cdot\cos(15^{\circ}+2\alpha)=\sin2\alpha.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiţi identitatea sin⁡2u−sin⁡2v=sin⁡(u+v)sin⁡(u−v)\sin^{2}u-\sin^{2}v=\sin(u+v)\sin(u-v) cu u=45∘+αu=45^{\circ}+\alpha, v=30∘−αv=30^{\circ}-\alpha, obţinând sin⁡75∘sin⁡(15∘+2α)\sin75^{\circ}\sin(15^{\circ}+2\alpha).
23 puncte
Observaţi că sin⁡75∘=cos⁡15∘\sin75^{\circ}=\cos15^{\circ}, astfel primele două termene dau cos⁡15∘sin⁡(15∘+2α)\cos15^{\circ}\sin(15^{\circ}+2\alpha).
34 puncte
Scădeţi termenul dat şi folosiţi formula pentru diferenţa de produse: cos⁡15∘sin⁡(15∘+2α)−sin⁡15∘cos⁡(15∘+2α)=sin⁡((15∘+2α)−15∘)=sin⁡2α\cos15^{\circ}\sin(15^{\circ}+2\alpha)-\sin15^{\circ}\cos(15^{\circ}+2\alpha)=\sin\big((15^{\circ}+2\alpha)-15^{\circ}\big)=\sin2\alpha, ceea ce încheie demonstraţia.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.