MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebriceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (cos⁡π4−sin⁡π6)(1cos⁡x+tan⁡x)=sin⁡π4cos⁡x\left(\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\left(\dfrac{1}{\cos x}+\tan x\right)=\sin\dfrac{\pi}{4}\cos x.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculaţi identităţile şi simplificaţi expresia: observaţi că 1cos⁡x+tan⁡x=1+sin⁡xcos⁡x\dfrac{1}{\cos x}+\tan x=\dfrac{1+\sin x}{\cos x}. Notând A=cos⁡π4−sin⁡π6=22−12A=\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2} şi B=sin⁡π4=22B=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, ecuaţia devine A(1+sin⁡x)=Bcos⁡xA(1+\sin x)=B\cos x, adică Asin⁡x−Bcos⁡x=−AA\sin x-B\cos x=-A.
26 puncte
Rezolvaţi prin metoda unghiului auxiliar. Puneţi R=A2+B2=125−22R=\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{5-2\sqrt{2}} şi alegeţi α\alpha astfel încât cos⁡α=AR\cos\alpha=\dfrac{A}{R}, sin⁡α=BR\sin\alpha=\dfrac{B}{R} (observaţi că α=arctan⁡BA=arctan⁡(2+2)\alpha=\arctan\dfrac{B}{A}=\arctan(2+\sqrt{2})). Atunci ecuaţia echivalează cu Rsin⁡(x−α)=−AR\sin(x-\alpha)=-A, deci sin⁡(x−α)=−AR\sin(x-\alpha)=\dfrac{-A}{R}. Soluţiile generale sunt x=α+(−1)karcsin⁡(−AR)+kπ,k∈Z,x=\alpha+(-1)^{k}\arcsin\left(\dfrac{-A}{R}\right)+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}, unde A=2−12A=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}, R=5−222R=\dfrac{\sqrt{5-2\sqrt{2}}}{2} şi α=arctan⁡(2+2)\alpha=\arctan(2+\sqrt{2}). Verificaţi consistenţa soluţiilor cu domeniul (condiţie cos⁡x≠0\cos x\neq0 la transformare) şi eliminaţi eventualele soluţii extrase incorect.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.