MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebriceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: sin⁡2xtan⁡x+cos⁡2xcot⁡x+2sin⁡xcos⁡x=433\sin^{2}x\tan x + \cos^{2}x\cot x + 2\sin x\cos x = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimați primele două termene: (\sin^{2}x\tan x=\dfrac{\sin^{3}x}{\cos x}), (\cos^{2}x\cot x=\dfrac{\cos^{3}x}{\sin x}). Comunaţi la acelaşi numitor: suma este (\dfrac{\sin^{4}x+\cos^{4}x}{\sin x\cos x}).\n
23 puncte
Folosiţi identitatea (\sin^{4}x+\cos^{4}x=(\sin^{2}x+\cos^{2}x)^{2}-2\sin^{2}x\cos^{2}x=1-2\sin^{2}x\cos^{2}x). Atunci suma plus (2\sin x\cos x) se reduce la (\dfrac{1-2\sin^{2}x\cos^{2}x}{\sin x\cos x}+2\sin x\cos x=\dfrac{1}{\sin x\cos x}).\n
34 puncte
Ecuaţia devine (\dfrac{1}{\sin x\cos x}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}), adică (\sin x\cos x=\dfrac{3}{4\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}). Atunci (\sin2x=2\sin x\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}). Rezolvaţi: (2x=\tfrac{\pi}{3}+2k\pi) sau (2x=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi), deci (x=\tfrac{\pi}{6}+k\pi) sau (x=\tfrac{\pi}{3}+k\pi). Verificaţi domeniul ((\sin x), (\cos x) nenule).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.