MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația ∣cos⁡x∣=cos⁡(x+a)|\cos x|=\cos(x+a) (parametrul aa dat).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că dreapta stânga este nenegativă, deci trebuie să avem cos⁡(x+a)≥0\cos(x+a)\ge0. Iați cele două cazuri: cos⁡x≥0\cos x\ge0 respectiv cos⁡x<0\cos x<0.
24 puncte
Pentru cos⁡x≥0\cos x\ge0 avem cos⁡(x+a)=cos⁡x⇒x+a=2kπ±x\cos(x+a)=\cos x\Rightarrow x+a=2k\pi\pm x. Aceasta dă: fie a=2kπa=2k\pi (atunci orice xx cu cos⁡x≥0\cos x\ge0 este soluție), fie x=kπ−a2x=k\pi-\dfrac{a}{2} cu condiția cos⁡x≥0\cos x\ge0. Pentru cos⁡x<0\cos x<0 avem cos⁡(x+a)=−cos⁡x=cos⁡(π−x)⇒x+a=2kπ±(π−x)\cos(x+a)=-\cos x=\cos(\pi-x)\Rightarrow x+a=2k\pi\pm(\pi-x); de aici rezultă fie a=(2k−1)πa=(2k-1)\pi (atunci orice xx cu cos⁡x<0\cos x<0 este soluție), fie x=kπ+π2−a2x=k\pi+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{a}{2} cu condiția cos⁡x<0\cos x<0.
33 puncte
Expuneți reuniunea soluțiilor: (i) daca a=2kπa=2k\pi atunci toate xx cu cos⁡x≥0\cos x\ge0; (ii) daca a=(2k−1)πa=(2k-1)\pi atunci toate xx cu cos⁡x<0\cos x<0; (iii) pentru orice aa soluți izolate date de x=kπ−a2x=k\pi-\dfrac{a}{2} care satisfac cos⁡x≥0\cos x\ge0, respectiv x=kπ+π2−a2x=k\pi+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{a}{2} care satisfac cos⁡x<0\cos x<0, cu k∈Zk\in\mathbb{Z}. Suma punctelor: 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.