MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația sin⁡2x=sin⁡3x+cos⁡x (cos⁡x−1)\sin^2 x=\sin 3x+\cos x\,(\cos x-1).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rescrieți termenii pentru a obține o factorizare utilă: observați că sin⁡2x−sin⁡3x−cos⁡x(cos⁡x−1)=0\sin^2 x-\sin 3x-\cos x(\cos x-1)=0 este echivalentă cu −cos⁡2x+cos⁡x−sin⁡3x=0-\cos 2x+\cos x-\sin 3x=0, iar echivalent se poate scrie sin⁡3x=cos⁡x−cos⁡2x\sin 3x=\cos x-\cos 2x.
24 puncte
Folosiți formula pentru diferența de cosinus: cos⁡x−cos⁡2x=2sin⁡3x2 sin⁡x2\cos x-\cos 2x=2\sin\dfrac{3x}{2}\,\sin\dfrac{x}{2} şi formula sin⁡3x=2sin⁡3x2 cos⁡3x2\sin 3x=2\sin\dfrac{3x}{2}\,\cos\dfrac{3x}{2}. Obțineți 2sin⁡3x2(cos⁡3x2−sin⁡x2)=02\sin\dfrac{3x}{2}\left(\cos\dfrac{3x}{2}-\sin\dfrac{x}{2}\right)=0.
33 puncte
Rezolvați cele două cazuri:
  • sin⁡3x2=0⇒3x2=kπ⇒x=2kπ3\sin\dfrac{3x}{2}=0\Rightarrow \dfrac{3x}{2}=k\pi\Rightarrow x=\dfrac{2k\pi}{3}, k∈Zk\in\mathbb{Z}.
  • cos⁡3x2=sin⁡x2=cos⁡(π2−x2)\cos\dfrac{3x}{2}=\sin\dfrac{x}{2}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}\right), deci 3x2=±(π2−x2)+2kπ\dfrac{3x}{2}=\pm\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}\right)+2k\pi. Din prima alegere rezultă x=π4+kπx=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, iar din a doua x=−π2+2kπx=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi. Combinați soluțiile pentru a obține mulțimea finală: x=2kπ3,  x=π4+kπ,  x=−π2+2kπx=\dfrac{2k\pi}{3},\;x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\;x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.