MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația: cos⁡xcos⁡2xcos⁡4x=1\cos x\cos 2x\cos 4x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observați că pentru orice unghi ∣cos⁡θ∣≤1|\cos\theta|\leq1, deci produsul poate fi 1 numai dacă fiecare factor are modulul 1: ∣cos⁡x∣=∣cos⁡2x∣=∣cos⁡4x∣=1|\cos x|=|\cos 2x|=|\cos 4x|=1. Asta înseamnă că fiecare argument este un multiplu integral de π\pi.
23 puncte
Din cos⁡4x=±1\cos 4x=\pm1 rezultă 4x=nπ⇒x=nπ44x=n\pi\Rightarrow x=\dfrac{n\pi}{4}. Impunând apoi cos⁡2x=±1\cos 2x=\pm1 rezultă restricții care conduc la x=mπx=m\pi.
33 puncte
Verificați semnele și obțineți soluțiile care dau produsul pozitiv: singurele valori care satisfac toate condițiile sunt x=2kπx=2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Verificare finală: pentru aceste xx toate cosinusurile sunt 1 și produsul este 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.