MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAlgebră și Calcule cu Numere RealeDomeniul de definiție al funcțiilor
Simplificați expresia pentru f(x)f(x) și apoi determinați f′(x)f'(x) dacă f(x)=(x−2x+2+x−2+x−2x2−4−x+2)−2(x−12(x+1)+1)×2x+1f(x)=\left(\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}+\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4-x+2}}\right)^{-2}\left(\frac{x-1}{2(\sqrt{x}+1)}+1\right)\times\frac{2}{\sqrt{x}+1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Simplificați factorul din dreapta: (x−12(x+1)+1)×2x+1=2(x−12(x+1)+1)x+1=x−1x+1+2x+1=x−1+2(x+1)(x+1)2=x+1+2x(x+1)2=1\left(\frac{x-1}{2(\sqrt{x}+1)}+1\right)\times\frac{2}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\left(\frac{x-1}{2(\sqrt{x}+1)}+1\right)}{\sqrt{x}+1}=\frac{\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}+2}{\sqrt{x}+1}=\frac{x-1+2(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2}=\frac{x+1+2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2}=1.
23 puncte
Simplificați a doua fracție din paranteză: x−2x2−4−x+2=x−2(x−2)(x+1)=x−2x+1\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4-x+2}}=\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)(x+1)}}=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}} (pentru x≥2x\ge 2). Prin urmare, definim A(x)=x−2x+2+x−2+x−2x+1A(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}+\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}} și rezultă f(x)=A(x)−2f(x)=A(x)^{-2}.
33 puncte
Calculați derivata folosind regula lanțului: f′(x)=−2A(x)−3A′(x)f'(x)=-2A(x)^{-3}A'(x), unde A′(x)=12x−2(1x+2+x−2+1x+1)+x−2(−12x+2+12x−2(x+2+x−2)2−12(x+1)3/2)A'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}\left(\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)+\sqrt{x-2}\left(-\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{x+2}}+\tfrac{1}{2\sqrt{x-2}}}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2})^2}-\frac{1}{2(x+1)^{3/2}}\right). Astfel se obține expresia completă a lui f′(x)f'(x) prin înlocuirea în f′(x)=−2A−3A′f'(x)=-2A^{-3}A'.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.