MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: log⁡xa⋅log⁡a2(a2−42a−x)=1\log_{\sqrt{x}} a \cdot \log_{a^2} \left(\frac{a^2 - 4}{2a - x}\right) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Transformare utilizând schimbarea bazei: log⁡xa=2log⁡xa\log_{\sqrt{x}} a=2\log_x a, log⁡a2(a2−42a−x)=12log⁡a(a2−42a−x)\log_{a^2}\left(\dfrac{a^2-4}{2a-x}\right)=\dfrac12\log_a\left(\dfrac{a^2-4}{2a-x}\right) şi observați identitatea log⁡xa⋅log⁡ay=log⁡xy\log_x a\cdot\log_a y=\log_x y, deci ecuația devine log⁡x(a2−42a−x)=1\log_x\left(\dfrac{a^2-4}{2a-x}\right)=1.
24 puncte
Exponentiați în baza xx: a2−42a−x=x\dfrac{a^2-4}{2a-x}=x, obţineţi ecuaţia cuadratică x2−2ax+(a2−4)=0x^2-2ax+(a^2-4)=0, care se scrie (x−a)2=4(x-a)^2=4, deci x=a±2x=a\pm2.
33 puncte
Verificare domeniu şi soluţii: condiţii: x>0x>0, x≠1x\neq1, a>0a>0, a≠±1a\neq\pm1, argumentul din log al doilea pozitiv şi baza diferită de 11 (în special a≠2a\neq2 pentru a evita 0/0). Rezultă: pentru a>2a>2 avem soluţii x=a+2x=a+2 şi x=a−2x=a-2; pentru 0<a<20<a<2, a≠1a\neq1, avem doar x=a+2x=a+2. (Se exclude a=1a=1 şi a=2a=2 din motiv de definiţie.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.