MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometriePolinoameSisteme de Ecuații Neliniare
Găsiți toate soluțiile ecuației 3sin⁡3x−3cos⁡2x+7sin⁡x−cos⁡2x+1=03\sin^3 x - 3\cos^2 x + 7\sin x - \cos 2x + 1 = 0 care sunt, de asemenea, soluții ale ecuației cos⁡2x+3cos⁡xsin⁡2x−8sin⁡x=0\cos^2 x + 3\cos x\sin 2x - 8\sin x = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimați totul în funcție de s=sin⁡xs=\sin x şi folosiți cos⁡2x=1−s2\cos^2 x=1-s^2, cos⁡2x=1−2s2\cos 2x=1-2s^2, sin⁡2x=2scos⁡x\sin 2x=2s\cos x. Prima ecuație se reduce la polinomul în ss: 3s3+5s2+7s−3=03s^3+5s^2+7s-3=0.
24 puncte
A doua ecuație devine (1−s2)(1+6s)=8s(1-s^2)(1+6s)=8s, care se reduce la 6s3+s2+2s−1=06s^3+s^2+2s-1=0. Găsiți rădăcerea comună: verificați s=13s=\tfrac13; ambele polinoame se anulă pentru s=13s=\tfrac13, iar celelalte rădăcini sunt complexe.
33 puncte
Concluzie: singura valoare reală comună este sin⁡x=13\sin x=\tfrac13. Deci soluțiile sunt toate xx de forma x=arcsin⁡13+2kπx=\arcsin\tfrac{1}{3}+2k\pi și x=π−arcsin⁡13+2kπx=\pi-\arcsin\tfrac{1}{3}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.