MediuTrigonometrieClasa 11

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere RealeProgresii Aritmetice
Rezolvați ecuația cos⁡4x+6=7cos⁡2x\cos 4x + 6 = 7\cos 2x și găsiți suma rădăcinilor sale în intervalul [0,314][0,314].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Folosiți identitatea cos⁡4x=2cos⁡22x−1\cos 4x=2\cos^2 2x-1. Notăm y=cos⁡2xy=\cos 2x; ecuația devine 2y2−1+6=7y2y^2-1+6=7y, adică 2y2−7y+5=02y^2-7y+5=0.
23 puncte
Rezolvați ecuația pentru yy: (2y−5)(y−1)=0(2y-5)(y-1)=0, deci y=52y=\tfrac52 (nevalid, deoarece ∣y∣≤1|y|\le1) sau y=1y=1.
33 puncte
Din cos⁡2x=1\cos 2x=1 rezultă 2x=2kπ⇒x=kπ2x=2k\pi\Rightarrow x=k\pi. În intervalul [0,314][0,314] avem k=0,1,2,…,100k=0,1,2,\dots,100 (deoarece 100π≈314.16>314100\pi\approx314.16>314, dar 100π≤314100\pi\le314? verificare: 100π≈314.159…100\pi\approx314.159\ldots iar capătul 314 este mai mic, astfel ultimul întreg admis este k=99k=99 sau k=100k=100? corectăm: condiția kπ≤314k\pi\le314 dă k≤⌊314/π⌋=99k\le\lfloor 314/\pi\rfloor=99). Observație corectivă: ⌊314/π⌋=99\lfloor314/\pi\rfloor=99, deci k=0,1,…,99k=0,1,\dots,99. Suma rădăcinilor: ∑k=099kπ=π99⋅1002=π⋅4950\sum_{k=0}^{99} k\pi=\pi\dfrac{99\cdot100}{2}=\pi\cdot4950. Concluzie: suma rădăcinilor din [0,314][0,314] este 4950π\displaystyle 4950\pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.