MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul: sin⁡x+sin⁡y=sin⁡(x+y),  ∣x∣+∣y∣=1\sin x + \sin y = \sin(x+y),\; |x|+|y|=1

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡x+y2cos⁡x−y2\sin x+\sin y=2\sin\tfrac{x+y}{2}\cos\tfrac{x-y}{2} şi scrieţi ecuaţia echivalentă 2sin⁡x+y2(cos⁡x−y2−cos⁡x+y2)=02\sin\tfrac{x+y}{2}\bigl(\cos\tfrac{x-y}{2}-\cos\tfrac{x+y}{2}\bigr)=0. Identificaţi cele două cazuri posibile. ;
24 puncte
Cazul I: sin⁡x+y2=0⇒x+y=2kπ\sin\tfrac{x+y}{2}=0\Rightarrow x+y=2k\pi. Impuneţi condiţia ∣x∣+∣y∣=1|x|+|y|=1 şi formulaţi familia de soluţii corespunzătoare. Cazul II: cos⁡x−y2=cos⁡x+y2\cos\tfrac{x-y}{2}=\cos\tfrac{x+y}{2}; rezolvaţi relaţia ca două posibilităţi: x−y2=x+y2+2kπ\tfrac{x-y}{2}=\tfrac{x+y}{2}+2k\pi sau x−y2=−x+y2+2kπ\tfrac{x-y}{2}=-\tfrac{x+y}{2}+2k\pi şi determinaţi relaţiile între xx şi yy. ;
33 puncte
Aplicaţi restricţia ∣x∣+∣y∣=1|x|+|y|=1 pentru fiecare subcaz şi daţi forma finală a mulţimii soluţiilor: familia de perechi cu x+y=2kπx+y=2k\pi şi ∣x∣+∣y∣=1|x|+|y|=1, precum şi soluţiile particulare obţinute când x=0,∣y∣=1x=0,|y|=1 sau y=0,∣x∣=1y=0,|x|=1, explicând de ce acestea apar.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.