MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Determinați sin⁡2α\sin2\alpha dacă sin⁡(α/2)+cos⁡(α/2)=−12\sin(\alpha/2) + \cos(\alpha/2) = -\tfrac{1}{2} și α\alpha aparține cadranului IV.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Se notează t=α2t=\tfrac{\alpha}{2} și se pătrunde: (sin⁡t+cos⁡t)2=1+sin⁡2t=14(\sin t+\cos t)^2=1+\sin2t=\tfrac{1}{4}, deci sin⁡2t=−34\sin2t= -\tfrac{3}{4}. Observăm că 2t=α2t=\alpha, deci sin⁡α=−34\sin\alpha=-\tfrac{3}{4}.
26 puncte
Din sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 rezultă cos⁡α=+74\cos\alpha=+\tfrac{\sqrt{7}}{4} (semnul plus deoarece în cadranul IV cosinusul este pozitiv). Se calculează apoi sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2⋅(−34)⋅74=−378\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\left(-\tfrac{3}{4}\right)\cdot\tfrac{\sqrt{7}}{4}=-\tfrac{3\sqrt{7}}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.