MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelor
Investigați comportamentul funcției y=x4−2x24y = \frac{x^4 - 2x^2}{4} cu ajutorul derivatei și construiți graficul acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata și punctele critice: f(x)=x4−2x24f(x)=\frac{x^4-2x^2}{4}, f′(x)=x3−x=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)f'(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1). Puncte critice: x=−1,0,1x=-1,0,1. (3 puncte)
23 puncte
Determinați monotonia prin semnul lui f′f': pentru x<−1x<-1 f′<0f'<0 (descrescătoare), pentru −1<x<0-1<x<0 f′>0f'>0 (crescătoare), pentru 0<x<10<x<1 f′<0f'<0 (descrescătoare), pentru x>1x>1 f′>0f'>0 (crescătoare). (3 puncte)
32 puncte
Determinați extremele locale și valorile lor: f(−1)=1−24=−14f(-1)=\frac{1-2}{4}=-\tfrac{1}{4} (minim local), f(0)=0f(0)=0 (maxim local), f(1)=−14f(1)=-\tfrac{1}{4} (minim local). (2 puncte)
42 puncte
Analizați concavitatea și punctele de inflexiune folosind f′′(x)=3x2−1f''(x)=3x^2-1. Puncte de inflexiune când f′′(x)=0⇒x=±13f''(x)=0\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, valorile f(±13)=−536f\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\tfrac{5}{36}. Convexitate pentru ∣x∣>13|x|>\frac{1}{\sqrt{3}}, concavitate pentru ∣x∣<13|x|<\frac{1}{\sqrt{3}}. Construiți schița funcției folosind aceste informații. (2 puncte)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.