MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
Găsiți toate soluțiile sistemului de ecuații care satisfac condițiile 0<x<π0<x<\pi, 0≤y≤2π0\le y\le 2\pi: {cot⁡2(x−y)−(1+3)cot⁡(x−y)+3=0cos⁡y=32\begin{cases}\cot^2(x-y)-(1+\sqrt{3})\cot(x-y)+\sqrt{3}=0\\\cos y=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvați ecuația pentru u=cot⁡(x−y)u=\cot(x-y): u2−(1+3)u+3=0u^2-(1+\sqrt{3})u+\sqrt{3}=0. Calculul discriminantului arată că rădăcinile sunt u=3u=\sqrt{3} și u=1u=1, deci x−y=π6+kπx-y=\tfrac{\pi}{6}+k\pi sau x−y=π4+kπx-y=\tfrac{\pi}{4}+k\pi.
23 puncte
Din cos⁡y=32\cos y=\tfrac{\sqrt{3}}{2} rezultă y=π6y=\tfrac{\pi}{6} sau y=11π6y=\tfrac{11\pi}{6} în intervalul dat.
34 puncte
Combinați cele două familii și impuneți 0<x<π0<x<\pi. Pentru y=π6y=\tfrac{\pi}{6} obținem x=π3x=\tfrac{\pi}{3} (corespunzător lui x−y=π6x-y=\tfrac{\pi}{6}, cu k=0k=0) și x=5π12x=\tfrac{5\pi}{12} (corespunzător lui x−y=π4x-y=\tfrac{\pi}{4}, cu k=0k=0). Pentru y=11π6y=\tfrac{11\pi}{6} singura soluție admisă este x=π12x=\tfrac{\pi}{12} (corespunzător lui x−y=π4x-y=\tfrac{\pi}{4} cu un kk adecvat). Concluzie: soluțiile din domeniul cerut sunt (x,y)∈{(π3,π6),(5π12,π6),(π12,11π6)}.(x,y)\in\left\{\left(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{6}\right),\left(\tfrac{5\pi}{12},\tfrac{\pi}{6}\right),\left(\tfrac{\pi}{12},\tfrac{11\pi}{6}\right)\right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.