MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceFuncția de gradul al II-leaSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul: {2(log⁡yx+log⁡xy)=5xy=8\begin{cases} 2\bigl(\log_y x + \log_x y\bigr)=5 \\ xy=8 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm a=log⁡xya=\log_x y. Atunci log⁡yx=1/a\log_y x=1/a, deci ecuația devine 2(a+1a)=5⇒a+1a=522\left(a+\dfrac{1}{a}\right)=5\Rightarrow a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{5}{2}.
23 puncte
Rezolvăm ecuația cuadratică a2−52a+1=0⇒2a2−5a+2=0a^2 -\dfrac{5}{2}a +1=0\Rightarrow 2a^2-5a+2=0, obţinem a=2a=2 sau a=12a=\dfrac{1}{2}.
34 puncte
Dacă a=log⁡xy=2a=\log_x y=2 atunci y=x2y=x^2 şi din xy=8xy=8 rezultă x3=8⇒x=2x^3=8\Rightarrow x=2, y=4y=4. Dacă a=1/2a=1/2 atunci y=xy=\sqrt{x} şi din xx=8x\sqrt{x}=8 avem x3/2=8⇒x=4x^{3/2}=8\Rightarrow x=4, y=2y=2. Ambele perechi satisfac condițiile de domeniu (pozitive, baze diferite de 1). Soluţiile: (2,4)(2,4) şi (4,2)(4,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.