MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Simplificați expresia: sin⁡3α+sin⁡5α+sin⁡7αcos⁡3α+cos⁡5α+cos⁡7α\dfrac{\sin3\alpha+\sin5\alpha+\sin7\alpha}{\cos3\alpha+\cos5\alpha+\cos7\alpha}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați centrul aritmetic al unghiurilor şi notați x=5αx=5\alpha, d=2αd=2\alpha, astfel suma devine sin⁡(x−d)+sin⁡x+sin⁡(x+d)cos⁡(x−d)+cos⁡x+cos⁡(x+d)\dfrac{\sin(x-d)+\sin x+\sin(x+d)}{\cos(x-d)+\cos x+\cos(x+d)}.
24 puncte
Folosiți formula sin⁡(x−d)+sin⁡(x+d)=2sin⁡xcos⁡d\sin(x-d)+\sin(x+d)=2\sin x\cos d şi similar pentru cosinus, obţinând factor comun (2cos⁡d+1)(2\cos d+1).
33 puncte
Simplificați raportul şi obțineți tan⁡5α\tan5\alpha.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.