MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometriePolinoame
Rezolvați ecuația 8cos⁡4x−8cos⁡2x−cos⁡x+1=08\cos^4 x - 8\cos^2 x - \cos x + 1 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Notăm t=cos⁡xt=\cos x și obținem ecuația algebrică 8t4−8t2−t+1=08t^4-8t^2-t+1=0.
24 puncte
Factorizarea polinomului: 8t4−8t2−t+1=(t−1)(t+12)⋅2(4t2+2t−1)8t^4-8t^2-t+1=(t-1)(t+\tfrac{1}{2})\cdot 2\bigl(4t^2+2t-1\bigr), de unde rădăcinile t=1t=1, t=−12t=-\tfrac{1}{2}, t=−1±54t=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}.
34 puncte
Determinarea lui xx pentru fiecare valoare admissibilă a lui tt; cos⁡x=1⇒x=2kπ\cos x=1\Rightarrow x=2k\pi, cos⁡x=−12⇒x=2π3+2kπ\cos x=-\tfrac{1}{2}\Rightarrow x=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi sau x=4π3+2kπx=\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi, iar pentru cos⁡x=−1±54\cos x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4} avem soluțiile x=±arccos⁡ ⁣(−1±54)+2kπx=\pm\arccos\!\left(\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}\right)+2k\pi, toate cu k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.