MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilorSisteme de Ecuații Neliniare
{1sin⁡(π4−x)(3cos⁡2x−6cot⁡y+2)=018sin⁡2x−2tan⁡y−3=0\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)}}\Bigl(3\cos2x-6\cot y+2\Bigr)=0\\ 18\sin^{2}x-2\tan y-3=0 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domain: pentru ca expresia să fie bine definită avem sin⁡(π4−x)>0\sin\bigl(\dfrac{\pi}{4}-x\bigr)>0. Produsul este zero iar termenul cu radical în numitor nu poate fi zero, deci trebuie să se anuleze paranteza: 3cos⁡2x−6cot⁡y+2=0⇒cot⁡y=3cos⁡2x+26.3\cos2x-6\cot y+2=0\Rightarrow \cot y=\dfrac{3\cos2x+2}{6}.\
26 puncte
Din a doua ecuaţie avem tan⁡y=9sin⁡2x−32\tan y=9\sin^{2}x-\dfrac{3}{2}. Luăm reciproca şi egalăm cu expresia pentru cot⁡y\cot y: 3cos⁡2x+26=19sin⁡2x−32.\dfrac{3\cos2x+2}{6}=\dfrac{1}{9\sin^{2}x-\tfrac{3}{2}}. Înlocuind cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos2x=1-2\sin^{2}x şi notând u=sin⁡2xu=\sin^{2}x rezultă ecuaţia algebrică care duce la u=12u=\dfrac{1}{2}. Deci sin⁡2x=12\sin^{2}x=\dfrac{1}{2} şi x=π4+nπ2x=\dfrac{\pi}{4}+n\dfrac{\pi}{2}, n∈Zn\in\mathbb{Z}.\
32 puncte
Din condiţia pentru radical se păstrează doar clasele cu sin⁡(π4−x)>0\sin\bigl(\dfrac{\pi}{4}-x\bigr)>0, rezultând x≡−π4(mod2π).x\equiv -\dfrac{\pi}{4}\pmod{2\pi}. Pentru aceste xx avem tan⁡y=3\tan y=3, deci y=arctan⁡3+kπ,k∈Z.y=\arctan 3 + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.