MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
{log⁡yx+log⁡xy=2.5x y=27\begin{cases} \log_y x + \log_x y = 2.5 \\ x\,y = 27 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Precizaţi domeniul de definiţie x>0x>0, y>0y>0, x≠1x\neq1, y≠1y\neq1 şi folosiţi substituţia t=log⁡xyt=\log_x y, observând că log⁡yx=1/t\log_y x=1/t, obţineţi ecuaţia t+1/t=5/2t+1/t=5/2.
24 puncte
Rezolvaţi ecuaţia pentru tt: 2t2−5t+2=02t^2-5t+2=0 (t=2) sau (t=1/2). Din y=xty=x^t şi xt+1=27x^{t+1}=27 determinaţi xx pentru fiecare tt: pentru t=2t=2 rezultă x3=27⇒x=3x^3=27\Rightarrow x=3, iar pentru t=1/2t=1/2 rezultă x3/2=27⇒x=9x^{3/2}=27\Rightarrow x=9.
33 puncte
Calculaţi yy şi verificaţi soluţiile în domeniu: pentru x=3,t=2x=3,t=2 avem y=9y=9; pentru x=9,t=1/2x=9,t=1/2 avem y=3y=3. Soluţii: (3,9)(3,9) şi (9,3)(9,3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.