Rezolvați ecuația: .... — Rezolvare

MediuEcuații logaritmiceEcuații exponentiale

\log_2\bigl(4\cdot3^x-6\bigr)-\log_2\bigl(9^x-6\bigr)=1

10 puncte · 5 pași

12 puncte

Domeniul: argumentele logaritmilor trebuie pozitive: (4\cdot3^x-6>0) și (9^x-6>0). Notăm (y=3^x>0) pentru a simplifica condițiile.

22 puncte

Cu (y=3^x) avem (9^x=3^{2x}=y^2). Ecuația devine (\log_2(4y-6)-\log_2(y^2-6)=1).

33 puncte

Combinăm logaritmii: (\log_2\dfrac{4y-6}{y^2-6}=1\Rightarrow \dfrac{4y-6}{y^2-6}=2). Rezultă ecuația algebrică (4y-6=2(y^2-6)\Rightarrow 2y^2-4y-6=0\Rightarrow y^2-2y-3=0).

42 puncte

Rezolvăm (y^2-2y-3=(y-3)(y+1)=0\Rightarrow y=3) sau (y=-1). Deoarece (y=3^x>0) păstrăm (y=3).

51 punct

Din (3^x=3) rezultă (x=1). Verificăm condițiile: pentru (y=3) argumentele logaritmilor sunt pozitive, deci soluția este (x=1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice