MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateTrigonometrieAplicații ale derivatelor
Determinați pentru ce valori ale lui x derivata f′(x)f'(x) este egală cu zero dacă f(x)=1−sin⁡(π+x)+2cos⁡(3π+x2)f(x)=1-\sin(\pi+x)+2\cos\left(\frac{3\pi+x}{2}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observați că sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin x și cos⁡(3π+x2)=sin⁡x2\cos\left(\frac{3\pi+x}{2}\right)=\sin\frac{x}{2}; astfel f(x)=1+sin⁡x+2sin⁡x2f(x)=1+\sin x+2\sin\frac{x}{2}, deci f′(x)=cos⁡x+cos⁡x2f'(x)=\cos x+\cos\frac{x}{2}.
24 puncte
Rezolvați ecuația cos⁡x+cos⁡x2=0\cos x+\cos\frac{x}{2}=0. Folosiți identitatea cos⁡x=2cos⁡2x2−1\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1; cu t=cos⁡x2t=\cos\frac{x}{2} se obține ecuația 2t2+t−1=0⇒t=12 sau t=−12t^2+t-1=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}\text{ sau }t=-1.
32 puncte
Din cos⁡x2=12\cos\frac{x}{2}=\frac{1}{2} rezultă x2=±π3+2kπ⇒x=±2π3+4kπ\frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+4k\pi. Din cos⁡x2=−1\cos\frac{x}{2}=-1 rezultă x2=π+2kπ⇒x=2π+4kπ\frac{x}{2}=\pi+2k\pi\Rightarrow x=2\pi+4k\pi, cu k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.