MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: tan⁡x+tan⁡2x+tan⁡3x=0\tan x + \tan 2x + \tan 3x = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți formula tan⁡3x=tan⁡x+tan⁡2x1−tan⁡xtan⁡2x\tan 3x=\dfrac{\tan x+\tan 2x}{1-\tan x\tan 2x} și notați S=tan⁡x+tan⁡2xS=\tan x+\tan 2x, P=tan⁡xtan⁡2xP=\tan x\tan 2x. Ecuația devine S+S1−P=0S+\dfrac{S}{1-P}=0, adică S2−P1−P=0S\dfrac{2-P}{1-P}=0.
24 puncte
Analizați cazul S=0S=0. Din tan⁡2x=−tan⁡x\tan 2x=-\tan x rezultă fie tan⁡x=0\tan x=0, fie tan⁡2x=3\tan^2 x=3. Deci soluții: x=kπx=k\pi și x=±π3+kπx=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.
33 puncte
Analizați cazul P=2P=2. Scriind tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x} obțineți 2tan⁡2x1−tan⁡2x=2\dfrac{2\tan^2 x}{1-\tan^2 x}=2, de unde tan⁡2x=12\tan^2 x=\dfrac{1}{2}. Deci tan⁡x=±12\tan x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} și soluțiile sunt x=±arctan⁡ ⁣(12)+kπx=\pm\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.