MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmiFuncția de gradul al II-lea
log⁡1/3(2x+2−4x)≥−2\log_{1/3}\big(2^{x}+2-4^{x}\big) \ge -2

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observația: 4x=(2x)24^{x}=(2^{x})^{2}. Punem t=2x>0t=2^{x}>0. Domeniul de definiție pentru log: t+2−t2>0⇒−t2+t+2>0⇒t∈(−1,2)t+2-t^{2}>0\Rightarrow -t^{2}+t+2>0\Rightarrow t\in( -1,2) dar ca t>0t>0 rezultă 0<t<20<t<2, ceea ce echivalează cu 2x<2⇒x<12^{x}<2\Rightarrow x<1.
23 puncte
Aplicăm monotonia pentru baza 1/3∈(0,1)1/3\in(0,1): t+2−t2≤(1/3)−2=9t+2-t^{2}\le (1/3)^{-2}=9.
34 puncte
Echivalentul este t2−t+7≥0t^{2}-t+7\ge0, adevărat pentru orice t∈Rt\in\mathbb{R} (discriminant negativ), deci inegalitatea este satisfăcută pentru toţi tt din domeniul argumentului logaritmului. Prin urmare soluția finală este x<1x<1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.