GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometriePolinoame
Verificați că cos⁡(π7)⋅cos⁡(4π7)⋅cos⁡(5π7)=18\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right)=\dfrac{1}{8}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți simetrii: observați că cos⁡(4π7)=cos⁡(π−3π7)=−cos⁡(3π7)\cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right)=\cos\left(\pi-\dfrac{3\pi}{7}\right)=-\cos\left(\dfrac{3\pi}{7}\right) și cos⁡(5π7)=cos⁡(π−2π7)=−cos⁡(2π7)\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right)=\cos\left(\pi-\dfrac{2\pi}{7}\right)=-\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right). Astfel produsul dat devine produsul lui cos⁡π7cos⁡2π7cos⁡3π7\cos\dfrac{\pi}{7}\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{3\pi}{7}.
25 puncte
Demonstrați identitatea clasică cos⁡π7cos⁡2π7cos⁡3π7=18\cos\dfrac{\pi}{7}\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{3\pi}{7}=\dfrac{1}{8} folosind proprietăţile rădăcinilor unităţii sau relaţii trigonometrice (de exemplu obţinând un polinom având ca rădăcini aceste valori şi deducând produsul rădăcinilor).
32 puncte
Concluzionați că produsul iniţial este 18\dfrac{1}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.