MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația asin⁡x2−(sin⁡x+sin⁡3x2)=0a\sin\dfrac{x}{2}-\big(\sin x+\sin\dfrac{3x}{2}\big)=0 (parametrul aa).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm s=sin⁡x2s=\sin\dfrac{x}{2}, c=cos⁡x2c=\cos\dfrac{x}{2}. Folosim identitățiile sin⁡x=2sc\sin x=2sc and sin⁡3x2=3s−4s3\sin\dfrac{3x}{2}=3s-4s^{3}. Ecuația devine as−(2sc+3s−4s3)=0a s-(2sc+3s-4s^{3})=0.
24 puncte
Factorizați: s(a−2c−3+4s2)=0s\big(a-2c-3+4s^{2}\big)=0. Folosind s2=1−c2s^{2}=1-c^{2} transformăm paranteza la un trinom quadratic în cc: 4c2+2c−(a+1)=04c^{2}+2c-(a+1)=0.
33 puncte
Din s=0s=0 avem sin⁡x2=0⇒x=2kπ\sin\dfrac{x}{2}=0\Rightarrow x=2k\pi. Din ecuația quadratică pentru cc rezultă c=−2±16a+208=−2±16(a+1)+48c=\dfrac{-2\pm\sqrt{16a+20}}{8}=\dfrac{-2\pm\sqrt{16(a+1)+4}}{8} (condiția discriminantului însemnătiv în funcție de aa) iar soluțiile finale sunt date de cos⁡x2=−2±16a+208\cos\dfrac{x}{2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{16a+20}}{8}, adică x=±2arccos⁡ ⁣(−2±16a+208)+4kπx=\pm2\arccos\!\Big(\dfrac{-2\pm\sqrt{16a+20}}{8}\Big)+4k\pi, atunci când valorile obținute pentru cosī respectă ∣c∣≤1|c|\le1. Menționați condițiile asupra lui aa pentru care discriminantul este nenegativ și pentru care soluțiile astfel obținute satisfac restricția ∣c∣≤1|c|\le1. Suma punctelor: 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.