MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația cos⁡(πx−4) cos⁡(πx)=1\cos\bigl(\pi\sqrt{x-4}\bigr)\,\cos\bigl(\pi\sqrt{x}\bigr)=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul de definiție cere x≥4x\ge 4 (asta asigură argumentele rădăcinilor reale).;
24 puncte
Pentru produsul a două cosinusuri să fie 11 este necesar ca fie ambele să fie 11, fie ambele să fie −1-1. Caz 1: cos⁡(πx−4)=1\cos(\pi\sqrt{x-4})=1 și cos⁡(πx)=1\cos(\pi\sqrt{x})=1 duc la x−4=2k\sqrt{x-4}=2k și x=2m\sqrt{x}=2m, cu k,m∈Zk,m\in\mathbb{Z}, adică x=4+4k2=4m2x=4+4k^2=4m^2. Caz 2: cos⁡(πx−4)=−1\cos(\pi\sqrt{x-4})=-1 și cos⁡(πx)=−1\cos(\pi\sqrt{x})=-1 duc la x−4=2k+1\sqrt{x-4}=2k+1 și x=2m+1\sqrt{x}=2m+1, cu k,m∈Zk,m\in\mathbb{Z}.;
33 puncte
Rezolvați ecuațiile obținute: din primul caz 4+4k2=4m2⇒m2−k2=14+4k^2=4m^2\Rightarrow m^2-k^2=1 care are soluția întreagă k=0,m=±1k=0,m=\pm1, deci x=4x=4. Al doilea caz nu conduce la soluții întregi pentru k,mk,m. Concluzie: singura soluție reală este x=4x=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.