MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați inegalitatea: log⁡∣x∣(9−x2−x−1)≥1\log_{|x|}\left(\sqrt{9 - x^2}-x-1\right)\ge1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul de definiție: ∣x∣>0|x|>0 şi ∣x∣≠1|x|\neq1 deci x≠0,±1x\neq0,\pm1; condiţia pentru radical: 9−x2≥0⇒−3≤x≤39-x^2\ge0\Rightarrow -3\le x\le3; în plus argumentul trebuie strict pozitiv. Determinăm pozitivitatea argumentului: 9−x2−x−1>0\sqrt{9-x^2}-x-1>0 conduce la intervalul x∈(−3,−1+172)x\in(-3,\tfrac{-1+\sqrt{17}}{2}).;
23 puncte
Separarea în cazuri după bază: dacă ∣x∣>1|x|>1 (adică x∈(−3,−1)∪(1,3)x\in(-3,-1)\cup(1,3)) logaritmul este crescător, iar dacă 0<∣x∣<10<|x|<1 (adică x∈(−1,0)∪(0,1)x\in(-1,0)\cup(0,1)) logaritmul este descrescător. Intersectăm cu regiunea în care argumentul este pozitiv: obţinem posibilităţi în (−3,−1)(-3,-1) şi în (0,−1+172)(0,\tfrac{-1+\sqrt{17}}{2}) şi parţial în (1,−1+172)(1,\tfrac{-1+\sqrt{17}}{2}).;
33 puncte
Rezolvarea inegalităţii în fiecare subinterval: pentru x∈(−3,−1)x\in(-3,-1), cu ∣x∣=−x|x|=-x şi bază>1>1, inegalitatea devine 9−x2−x−1≥−x  ⟺  9−x2≥1  ⟺  x2≤8\sqrt{9-x^2}-x-1\ge -x\iff\sqrt{9-x^2}\ge1\iff x^2\le8, rezultând x∈[−22,−1)x\in[-2\sqrt{2},-1). Pentru 0<x<10<x<1 (bază în (0,1)(0,1)) inegalitatea se inversează şi se transformă în 9−x2−x−1≤x  ⟺  5x2+4x−8≥0\sqrt{9-x^2}-x-1\le x\iff5x^2+4x-8\ge0, rezultând x∈[−2+2115,1)x\in\left[\dfrac{-2+2\sqrt{11}}{5},1\right) (cu x≠1x\neq1). Nu apar soluţii în (1,−1+172)(1,\tfrac{-1+\sqrt{17}}{2}).;
41 punct
Reuniunea finală a soluţiilor: [−22,−1)∪[−2+2115,1)\displaystyle\left[-2\sqrt{2},-1\right)\cup\left[\dfrac{-2+2\sqrt{11}}{5},1\right), excluzând valorile interzise x=±1,0x=\pm1,0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.