GreuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

GreuEcuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: (log⁡2(4−x))2+log⁡(4−x)⋅log⁡(x+12)=2log⁡2(x+12)\bigl(\log_2(4-x)\bigr)^2 + \log(4-x)\cdot\log\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr) = 2\log_2\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: 4−x>04-x>0 şi x+12>0x+\tfrac12>0, deci −12<x<4-\tfrac12<x<4. Se interpretează toate logaritmii ca bază 22 (corectare pentru coerenţă).
22 puncte
Notăm u=log⁡2(4−x)u=\log_2(4-x), v=log⁡2(x+12)v=\log_2\bigl(x+\tfrac12\bigr); ecuaţia devine u2+uv−2v=0u^2+uv-2v=0.
33 puncte
Din ecuaţie (pentru u≠2u\neq2) obţinem v=−u2u−2v=-\dfrac{u^2}{u-2} şi legătura dintre uu şi vv prin relaţiile 2u=4−x2^u=4-x, 2v=x+122^v=x+\tfrac12, adică 2u+2v=922^u+2^v=\tfrac92. Reducem la o ecuaţie care trebuie rezolvată numeric.
43 puncte
Rezolvare numerică şi verificare: se obţin aproximativ două soluţii în intervalul de definiţie, x≈1.8905x\approx1.8905 şi x≈3.907x\approx3.907, care verifică ecuaţia şi restricţiile de definiţie.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.