MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceProgresii AritmeticePolinoame
Găsiți numerele: Trei numere formează o progresie geometrică. Dacă scădem 4 din al treilea număr, se obține o progresie aritmetică. Dacă apoi scădem 1 din al doilea și din al treilea termen ai progresiei aritmetice obținute, obținem din nou o progresie geometrică. Determinați cele trei numere.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm progresia geometrică prin termeni a,ar,ar2a, ar, ar^2. Condiția ca a,ar,ar2−4a, ar, ar^2 - 4 să fie în progresie aritmetică impune 2ar=a+ar2−42ar = a + ar^2 - 4, de unde a=4(r−1)2a = \dfrac{4}{(r-1)^2} (pentru r≠1r\neq 1).
24 puncte
După scăderea cu 1 a celui de al doilea și al treilea termen ai progresiei aritmetice obţinute rezultă progresia geometrică a,ar−1,ar2−5a, ar-1, ar^2-5, deci (ar−1)2=a(ar2−5)(ar-1)^2 = a(ar^2 -5). Înlocuind aa se obține ecuația polinomială r4−12r3+42r2−52r+21=0r^4 -12r^3 +42r^2 -52r +21 = 0, care factorizează și dă rădăcinile relevante r=3r=3 și r=7r=7 (excluzând r=1r=1 care invalidă formula pentru aa).
33 puncte
Pentru r=3r=3 rezultă a=4/(3−1)2=1a = 4/(3-1)^2 = 1, deci numerele sunt 1,3,91,3,9. Pentru r=7r=7 rezultă a=4/(7−1)2=1/9a = 4/(7-1)^2 = 1/9, deci numerele sunt 1/9,7/9,49/91/9, 7/9, 49/9. Ambele triplete verifică condițiile impuse.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.