MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația cos⁡3xtan⁡5x=sin⁡7x\cos3x\tan5x=\sin7x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți tan⁡5x=sin⁡5xcos⁡5x\tan5x=\dfrac{\sin5x}{\cos5x} și multiplicați cu cos⁡5x\cos5x (observați că trebuie excluse soluțiile pentru care cos⁡5x=0\cos5x=0): cos⁡3xsin⁡5x=sin⁡7xcos⁡5x\cos3x\sin5x=\sin7x\cos5x.
24 puncte
Folosiți formulele produsului: cos⁡3xsin⁡5x=12(sin⁡8x+sin⁡2x)\cos3x\sin5x=\tfrac{1}{2}(\sin8x+\sin2x) și sin⁡7xcos⁡5x=12(sin⁡12x+sin⁡2x)\sin7x\cos5x=\tfrac{1}{2}(\sin12x+\sin2x); se obține sin⁡8x=sin⁡12x⇒−2cos⁡10xsin⁡2x=0\sin8x=\sin12x\Rightarrow -2\cos10x\sin2x=0, deci cos⁡10xsin⁡2x=0\cos10x\sin2x=0.
33 puncte
Rezolvați factorii și eliminați soluțiile care anulează cos⁡5x\cos5x: sin⁡2x=0⇒x=kπ2\sin2x=0\Rightarrow x=\tfrac{k\pi}{2}; dintre acestea se păstrează doar cele pentru care cos⁡5x≠0\cos5x\neq0, adică rezultă x=kπx=k\pi. Din cos⁡10x=0⇒x=π20+kπ10\cos10x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{20}+k\tfrac{\pi}{10}. Prin urmare soluțiile sunt x=kπx=k\pi și x=π20+kπ10x=\tfrac{\pi}{20}+k\tfrac{\pi}{10}, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.