MediuTrigonometrieClasa 11

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația sin⁡(πx2)−sin⁡(π(x2+2x))=0\sin(\pi x^2)-\sin(\pi(x^2+2x))=0 și găsiți al șaptelea termen al șirului crescător al rădăcinilor sale pozitive.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡A+B2sin⁡A−B2\sin A-\sin B=2\cos\tfrac{A+B}{2}\sin\tfrac{A-B}{2}. Cu A=πx2A=\pi x^2, B=π(x2+2x)B=\pi(x^2+2x) obţinem factorii 2cos⁡(πx2+πx)sin⁡(−πx)=−2cos⁡(πx(x+1))sin⁡(πx)=02\cos(\pi x^2+\pi x)\sin(-\pi x)= -2\cos(\pi x(x+1))\sin(\pi x)=0.
24 puncte
Din produs rezultă două familii de soluții: (i) sin⁡(πx)=0⇒x∈Z\sin(\pi x)=0\Rightarrow x\in\mathbb{Z}; (ii) cos⁡(πx(x+1))=0⇒πx(x+1)=π2+kπ⇒x2+x−(k+12)=0\cos(\pi x(x+1))=0\Rightarrow \pi x(x+1)=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x^2+x-(k+\tfrac12)=0. Pentru (ii) soluțiile pozitive sunt xk=−1+3+4k2x_k=\dfrac{-1+\sqrt{3+4k}}{2} pentru k≥0k\ge0.
33 puncte
Construind șirul crescător al rădăcinilor pozitive prin intercalarea rădăcinilor (ii) cu valorile întregi 1,2,3,…1,2,3,\dots obţinem pentru primele elemente: x(1)=−1+32x_{(1)}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}, x(2)=−1+72x_{(2)}=\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}, x(3)=1x_{(3)}=1, x(4)=−1+112x_{(4)}=\dfrac{-1+\sqrt{11}}{2}, x(5)=−1+152x_{(5)}=\dfrac{-1+\sqrt{15}}{2}, x(6)=−1+192x_{(6)}=\dfrac{-1+\sqrt{19}}{2}, x(7)=−1+232x_{(7)}=\dfrac{-1+\sqrt{23}}{2}. Concluzie: al șaptelea termen al șirului crescător al rădăcinilor pozitive este −1+232\displaystyle\dfrac{-1+\sqrt{23}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.