MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația cos⁡2x2+sin⁡23x+cos⁡2(π2+2x)=3cos⁡π3\cos^2\dfrac{x}{2}+\sin^2 3x+\cos^2\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2x\bigr)=3\cos\dfrac{\pi}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observarea că 3cos⁡π3=323\cos\dfrac{\pi}{3}=\tfrac{3}{2} și folosirea identităților cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}, sin⁡2ϕ=1−cos⁡2ϕ2\sin^2\phi=\dfrac{1-\cos 2\phi}{2} și cos⁡2(π2+2x)=sin⁡22x=1−cos⁡4x2\cos^2(\tfrac{\pi}{2}+2x)=\sin^2 2x=\dfrac{1-\cos 4x}{2} pentru a reduce la ecuația cos⁡x−cos⁡4x−cos⁡6x=0\cos x-\cos 4x-\cos 6x=0.
24 puncte
Aplicarea formulelor sum-to-product: cos⁡4x+cos⁡6x=2cos⁡5xcos⁡x\cos 4x+\cos 6x=2\cos 5x\cos x și factorarea rezultantă cos⁡x (1−2cos⁡5x)=0\cos x\,(1-2\cos 5x)=0.
32 puncte
Rezolvarea factorilor: cos⁡x=0⇒x=π2+kπ\cos x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi; cos⁡5x=12⇒5x=±π3+2kπ⇒x=±π15+2kπ5\cos 5x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow 5x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\Rightarrow x=\pm\tfrac{\pi}{15}+\tfrac{2k\pi}{5}, cu k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.