MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația sin⁡2x+sin⁡22x+sin⁡23x=32\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x = \dfrac{3}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Transformăm pătratele sinus în funcții cosinus: (\sin^2 t=\dfrac{1-\cos2t}{2}). Aplicând pentru cele trei termeni se obține echivalentul (\dfrac{3-(\cos2x+\cos4x+\cos6x)}{2}=\dfrac{3}{2}).
24 puncte
Din egalitate rezultă (\cos2x+\cos4x+\cos6x=0). Grupăm: (\cos2x+\cos6x=2\cos4x\cos2x), deci (2\cos4x\cos2x+\cos4x=\cos4x(2\cos2x+1)=0).
34 puncte
Rezultă două cazuri: (\cos4x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{4}) și (2\cos2x+1=0\Rightarrow \cos2x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow 2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi). Acestea constituie mulțimea soluțiilor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.