MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Simplificați expresia tan⁡α+tan⁡βcot⁡α+cot⁡β+[cos⁡(α−β)⋅sec⁡(α+β)+1]−1\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{\cot\alpha+\cot\beta}+\left[\cos(\alpha-\beta)\cdot\sec(\alpha+\beta)+1\right]^{-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observați că cot⁡x=1tan⁡x\cot x=\dfrac{1}{\tan x}, deci cot⁡α+cot⁡β=tan⁡α+tan⁡βtan⁡αtan⁡β\cot\alpha+\cot\beta=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{\tan\alpha\tan\beta} şi rezultă prima fracţie tan⁡α+tan⁡βcot⁡α+cot⁡β=tan⁡αtan⁡β\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{\cot\alpha+\cot\beta}=\tan\alpha\tan\beta.
24 puncte
Simplificaţi a doua expresie: [cos⁡(α−β)sec⁡(α+β)+1]−1=1cos⁡(α−β)cos⁡(α+β)+1=cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)\left[\cos(\alpha-\beta)\sec(\alpha+\beta)+1\right]^{-1}=\dfrac{1}{\dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}+1}=\dfrac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}. Folosind suma cosinusurilor obţineţi cos⁡(α+β)2cos⁡αcos⁡β=12−12tan⁡αtan⁡β\dfrac{\cos(\alpha+\beta)}{2\cos\alpha\cos\beta}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\tan\alpha\tan\beta.
32 puncte
Combinaţi termenii: tan⁡αtan⁡β+(12−12tan⁡αtan⁡β)=12(1+tan⁡αtan⁡β)\tan\alpha\tan\beta+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\tan\alpha\tan\beta\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+\tan\alpha\tan\beta\right). Menţiune de domeniu: se cer tan⁡α+tan⁡β≠0\tan\alpha+\tan\beta\neq0 şi cos⁡αcos⁡β≠0\cos\alpha\cos\beta\neq0 pentru paşii de mai sus.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.