MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Arătați că cot⁡α−tan⁡α2sin⁡α+cos⁡(90∘+3α)+sin⁡5α=csc⁡α⋅csc⁡4α\dfrac{\cot\alpha-\tan\alpha}{2\sin\alpha+\cos\left(90^\circ+3\alpha\right)+\sin5\alpha}=\csc\alpha\cdot\csc4\alpha.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Simplificăm numărătorul: cot⁡α−tan⁡α=cos⁡αsin⁡α−sin⁡αcos⁡α=cos⁡2α−sin⁡2αsin⁡αcos⁡α=cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=2cot⁡2α\cot\alpha-\tan\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\dfrac{\cos2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=2\cot2\alpha.
24 puncte
Simplificăm numitorul: cos⁡(90∘+3α)=−sin⁡3α\cos(90^\circ+3\alpha)= -\sin3\alpha, deci 2sin⁡α−sin⁡3α+sin⁡5α=2sin⁡α+2cos⁡4αsin⁡α=2sin⁡α(1+cos⁡4α)=4sin⁡αcos⁡22α2\sin\alpha-\sin3\alpha+\sin5\alpha=2\sin\alpha+2\cos4\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha(1+\cos4\alpha)=4\sin\alpha\cos^2 2\alpha.
33 puncte
Calculăm fracţia: 2cot⁡2α4sin⁡αcos⁡22α=cos⁡2α4sin⁡2αcos⁡αcos⁡22α=14sin⁡2αcos⁡αcos⁡2α=1sin⁡αsin⁡4α=csc⁡α⋅csc⁡4α\dfrac{2\cot2\alpha}{4\sin\alpha\cos^2 2\alpha}=\dfrac{\cos2\alpha}{4\sin^2\alpha\cos\alpha\cos^2 2\alpha}=\dfrac{1}{4\sin^2\alpha\cos\alpha\cos2\alpha}=\dfrac{1}{\sin\alpha\sin4\alpha}=\csc\alpha\cdot\csc4\alpha, folosind sin⁡4α=4sin⁡αcos⁡αcos⁡2α\sin4\alpha=4\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.