MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
{log⁡x(xy)=log⁡yx2y2log⁡yx=4y+3\begin{cases} \log_x(xy)=\log_y x^2 \\ y^{2\log_y x}=4y+3 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Prescurtaţi prima ecuaţie cu t=log⁡xyt=\log_x y; având log⁡x(xy)=1+t\log_x(xy)=1+t şi log⁡yx2=2log⁡yx=2/t\log_y x^2=2\log_y x=2/t rezultă 1+t=2/t1+t=2/t, adică t2+t−2=0t^2+t-2=0 cu soluţiile t=1t=1 şi t=−2t=-2, deci fie y=xy=x, fie y=x−2y=x^{-2}.
24 puncte
Pentru t=1t=1 exponentul din a doua ecuaţie e 22 şi obţineţi y2=4y+3⇒y=2±7y^2=4y+3\Rightarrow y=2\pm\sqrt7, singura valoare pozitivă validă fiind y=2+7y=2+\sqrt7 şi atunci x=yx=y. Pentru t=−2t=-2 exponentul e −1-1 şi obţineţi 1/y=4y+3⇒4y2+3y−1=01/y=4y+3\Rightarrow 4y^2+3y-1=0 cu soluţii y=1/4y=1/4 sau y=−1y=-1, alegem y=1/4y=1/4 şi atunci y=x−2⇒x=2y=x^{-2}\Rightarrow x=2.
32 puncte
Verificaţi domeniul şi validaţi soluţiile. Soluţii: (2+7,2+7)(2+\sqrt7,2+\sqrt7) şi (2,14)(2,\tfrac{1}{4}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.